Фракталы - уникальные объекты,
порожденные непредсказуемыми движениями хаотического мира. Их находят в местах
таких малых, как клеточная мембрана и таких огромных, как Солнечная система.
ЧТО ЖЕ ТАКОЕ ФРАКТАЛЫ НА САМОМ
ДЕЛЕ?
ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ
ФРАКТАЛОВ
ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ:
СПРЯТАННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
ФРАКТАЛЫ И МИР ВОКРУГ НАС
Разветвления трубочек трахей, листья на деревьях, вены в руке, река,
бурлящая и изгибающаяся, рынок ценных бумаг — это все фракталы. От
представителей древних цивилизаций до Майкла Джексона, ученые, математики и
артисты, как и все остальные обитатели этой планеты, были зачарованы фракталами
и применяли их в своей работе.
Программисты и специалисты в области компьютерной техники так же без ума
от фракталов, так как фракталы бесконечной сложности и красоты могут быть
сгенерированы простыми формулами на простых домашних компьютерах. Открытие
фракталов было открытием новой эстетики искусства, науки и математики, а так же
революцией в человеческом восприятии мира.
ЧТО ЖЕ ТАКОЕ ФРАКТАЛЫ НА САМОМ ДЕЛЕ?
Слово “Фрактал” — это что-то, о чем много людей говорит в наши дни, от
физиков до учеников средней школы. Оно появляется на обложках многих учебников
математики, научных журналов и коробках с компьютерным программным
обеспечением. Цветные картинки фракталов сегодня можно найти везде: от открыток
до футболок. За последние два десятка лет количество производимых в месяц
единиц продукции, связанной с фракталами, увеличилось от нескольких десятков до
многих тысяч!
Итак, что это за цветные формы, которые мы видим повсюду вокруг? Говоря
простым языком, фрактал — это геометрическая фигура, определенная часть которой
повторяется снова и снова, изменяясь в размерах. Отсюда следует принцип
самоподобия. Все фракталы подобны самим себе, то есть они похожи на всех
уровнях. Существует много типов фракталов, причем здесь описываются довольно
большое их количество.
Однако фракталы — не просто сложные фигуры, сгенерированные
компьютерами. Все, что кажется случайным и неправильным может быть фракталом.
Теоретически, можно сказать, что все что существует в реальном мире является
фракталом, будь то облако или маленькая молекула кислорода.
НАСКОЛЬКО ХАОТИЧЕН ХАОС?
Фракталы всегда ассоциируются со словом хаос. Я лично, определил бы
фракталы, как частички хаоса.. Фракталы проявляют хаотическое поведение,
благодаря которому они кажутся такими беспорядочными и случайными. Но если
взглянуть достаточно близко, можно увидеть много аспектов самоподобия внутри
фрактала. Например, посмотрите на дерево, затем выберите определенную ветку и
изучите ее поближе. Теперь выберите связку из нескольких листьев. Для ученых,
занимающихся фракталами (которых иногда называют хаологами), все эти три
объекта представляются идентичными.
Слово хаос наводит большинство людей на мысли о чем-то беспорядочном и
непредсказуемом. На самом деле, это не совсем так. Итак насколько хаотичен
хаос? Ответ таков, что хаос, в действительности, достаточно упорядочен и
подчиняется определенным законам. Проблема состоит в том, что отыскание этих
законов может быть очень сложным. Цель изучения хаоса и фракталов — предсказать
закономерность в системах, которые могут казаться непредсказуемыми и абсолютно
хаотическими.
Система — это набор вещей, или область изучения, причем некоторые из
обычных систем, которые хаологи любят изучать включают облачные образования,
погода, движение водных потоков, миграции животных, и множество других аспектов
из жизни матери природы. Так что, в конце концов, может быть, весь мир вокруг
нас фрактален!
ГЕОМЕТРИЯ 21 ВЕКА
Для многих хаологов, изучение хаоса и фракталов не просто новая область
познания, которая объединяет математику, теоретическую физику, искусство и
компьютерные технологии — это революция. Это открытие нового типа геометрии,
той геометрии, которая описывает мир вокруг нас и которую можно увидеть не
только в учебниках, но и в природе и везде в безграничной вселенной.
Пионером в этой новой области познания, которого многие называют отцом
фракталов был Франко-Американский математик Профессор Бенуа Б. Мандельброт
(Benoit B. Mandelbrot). В середине 1960х после десятилетий обучения и научной
деятельности, Мандельброт разработал то, что он назвал фрактальная геометрия
или геометрия природы (об этом он написал свой бестселлер — Фрактальная
геометрия природы). Целью фрактальной геометрии был анализ сломанных,
морщинистых и нечетких форм. Мандельброт использовал слово фрактал, потому что
это предполагало осколочность и фракционность этих форм.
Сегодня Мандельброт и другие ученые, такие как Клиффорд А. Пикковер
(Clifford A. Pickover), Джеймс Глейк (James Gleick) или Г. О. Пейтген (H.O.
Peitgen) пытаются расширить область фрактальной геометрии так, чтобы она могла
быть применена практически ко всему в мире, от предсказания цен на рынке ценных
бумаг до совершения новых открытий в теоретической физике.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ФРАКТАЛОВ
Фракталы находят все большее и большее применение в науке. Основная
причина этого заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже
лучше, чем традиционная физика или математика. Вот несколько примеров:
КОМПЬЮТЕРНЫЕ СИСТЕМЫ
Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной науке является
фрактальное сжатие данных. В основе этого вида сжатия лежит тот факт, что
реальный мир хорошо описывается фрактальной геометрией. При этом, картинки
сжимаются гораздо лучше, чем это делается обычными методами (такими как jpeg
или gif). Другое преимущество фрактального сжатия в том, что при увеличении
картинки, не наблюдается эффекта пикселизации (увеличения размеров точек до
размеров, искажающих изображение). При фрактальном же сжатии, после увеличения,
картинка часто выглядит даже лучше, чем до него.
МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ
Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под
фракталы. Турбулентные потоки хаотичны, поэтому их сложно точно смоделировать.
И здесь помогает переход к фрактальному представлению, что сильно облегчает
работу инженерам и физикам, позволяя им лучше понять динамику сложных потоков.
При помощи фракталов также можно смоделировать языки пламени.
Пористые материалы хорошо представляются в фрактальной форме в связи с
тем, что они имеют очень сложную геометрию. Это используется в нефтяной науке.
ТЕЛЕКОММУНИКАЦИИ
Для передачи данных на расстояния используются антенны, имеющие
фрактальные формы, что сильно уменьшает их размеры и вес.
ФИЗИКА ПОВЕРХНОСТЕЙ
Фракталы используются для описания кривизны поверхностей. Неровная
поверхность характеризуется комбинацией из двух разных фракталов.
МЕДИЦИНА
Биосенсорные взаимодействия
Биения сердца
БИОЛОГИЯ
Моделирование хаотических процессов, в частности при описании моделей
популяций.
ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ: СПРЯТАННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
Одной из идей, выросших из открытия фрактальной геометрии была идея
нецелых значений для количества измерений в пространстве. Конечно, мы не можем
осознать четырехмерные вещи, хотя Lucky Tesseract и активно работает в этом
направлении. Мандельброт назвал нецелые измерения такие как 2.76 фрактальными
измерениями. Обыкновенная евклидова геометрия утверждает, что пространство
ровное и плоское. Свойства такого пространства задают точки, линии, углы,
треугольники, кубы, сферы, тетраэдры и т. д.
Мандельброт верил, что действительный ландшафт пространства не ровный и
что в нашем мире нет ничего, что было бы совершенно плоским, круглым, то есть
все фрактально. Следовательно, объект, имеющий точно 3 измерения невозможен.
Вот почему концепция фрактального измерения была нужна для измерения степени
неровности вещей.
Например, посмотрите на лист бумаги (предположим, что он двумерный), скомканный в шар. Разве он двумерный? Нет, так как у него есть длина, ширина и высота. Но он не может быть и трехмерным, потому что он сделан из одного бесконечно тонкого листа и, к тому же, он не полностью однородный. Итак, его фрактальная размерность приблизительно равна 2.5. Но его нормальная размерность, так же называемая Евклидовой размерностью будет равна 3. Все фракталы, особенно фрактальные кривые, имеют фрактальные размерности. Мандельброт часто использовал пример того, что береговая линия Англии имеет бесконечную длину.
Попытайтесь на атласе наложить нитку по береговой линии Англии. Затем
сделайте то же самое с мореходной картой. Удивительно, но величина последнего
измерения будет гораздо больше. Затем поезжайте в Англию и измерьте ее
береговую линию метровой полкой. Эта длина будет еще длинней. Продолжайте этот
процесс до тех пор, пока у вас в руках не окажется чертежная линейка, которой
вы можете измерить береговую линию частичка за частичкой, атом за атомом.
Конечно идея этого непрактичного эксперимента в том, что расстояния должны быть
соизмеримы по масштабу, положению и деталям. Позже Мандельброт определил, что
фрактальная размерность береговой линии Англии составляет 1.25.
Многие объекты в природе (например, человеческое тело) состоят из
множества фракталов, смешанных друг с другом, причем каждый фрактал имеет свою
размерность отличную от размерности остальных. Например, двумерная поверхность
человеческой сосудистой системы изгибается, ветвится, скручивается и сжимается
так, что ее фрактальная размерность равна 3.0. Но если бы она была разделена на
отдельные части, фрактальная размерность артерий была бы только 2.7, тогда как
бронхиальные пути в легких имели бы фрактальную размерность 1.07.
По материалам: Сайт Золотой Гиперкуб