Первыми открытыми фракталами были т.н. детерминированные фракталы. Их
отличительной чертой является свойство самоподобия, обусловленное особенностями
метода их генерации.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
Некоторые предпочитают называть эти фракталы классическими,
геометрическими фракталами или линейными фракталами. Эти фракталы обычно
формируются начиная с инициатора — фигуры, к которой применяется определенный
основной рисунок. Во всех детерминированных фракталах, само-подобие проявляется
на всех уровнях. Это значит, что независимо от того насколько вы приближаете
фрактал, вы увидите все тот же узор. Для сложных фракталов, которые будут
рассмотрены позже, это не так.
Детерминистские
фракталы образуются в процессе, называемом итерацией, которая применяет
основной рисунок к инициатору, после чего применяет его к результату и так
далее. Большинство людей итерируют детерминированные фракталы 5-7 раз чтобы
получить четкую красивую картинку. Эти фракталы линейны, так как при каждой
итерации, что-то убирается либо прибавляется в форме прямых линий. Ниже
находятся примеры некоторых обычных детерминированных фракталов,
сгенерированных на обычном компьютере простыми программами на BASIC’е. Правда,
удивительно?
РЕШЕТКА СЕРПИНСКОГО
Это один из фракталов, с которыми экспериментировал Мандельброт, когда
разрабатывал концепции фрактальных размерностей и итераций. Треугольники,
сформированные соединением средних точек большего треугольника, вырезаны из
главного треугольника, образовывая треугольник, с большим количеством дырочек.
В этом случае инициатор — большой треугольник, а шаблон — операция вырезания
треугольников, подобных большему. Так же можно получить и трехмерную версию
треугольника, используя обыкновенный тетраэдр и вырезая маленькие тетраэдры.
Размерность такого фрактала ln3/ln2 = 1.584962501.
Рис 1. Решетка Серпинского.
Чтобы получить ковер Серпинского, возьмем квадрат, разделим его на девять квадратов, а средний вырежем. То же сделаем и с остальными, меньшими квадратами. В конце концов, образуется плоская фрактальная сетка, не имеющая площади, но с бесконечными связями. В своей пространственной форме, губка Серпинского преобразуется в систему сквозных форм, в которой каждый сквозной элемент постоянно заменяется себе подобным. Эта структура очень похожа на разрез костной ткани. Когда-нибудь такие повторяющиеся структуры станут элементом строительных конструкций. Их статика и динамика, считает Мандельброт, заслуживает пристального изучения.
Рис 2. Губка Серпинского.
ФРАКТАЛ СЕРПИНСКОГО
Не перепутайте этот фрактал с решеткой Серпинского. Это два абсолютно
разных объекта. В этом фрактале, инициатор и генератор одинаковы. При каждой
итерации, добавляется уменьшенная копия инициатора к каждому углу генератора и
так далее. Если при создании этого фрактала произвести бесконечное число
итераций, он бы занял всю плоскость, не оставив ни одной дырочки. Поэтому его
фрактальная размерность ln9/ln3 = 2.0
Рис 3. Фрактал Серпинского.
КРИВАЯ КОХА
Кривая Коха один из самых типичных детерминированных фракталов. Она была
изобретена в девятнадцатом веке немецким математиком по имени Хельге фон Кох,
который, изучая работы Георга Контора и Карла Вейерштрассе, натолкнулся на
описания некоторых странных кривых с необычным поведением. Инициатор — прямая
линия. Генератор — равносторонний треугольник, стороны которого равны трети
длины большего отрезка. Эти треугольники добавляются к середине каждого
сегмента снова и снова. В своем исследовании, Мандельброт много
экспериментировал с кривыми Коха, и получил фигуры, такие как Острова Коха,
Кресты Коха, Снежинки Коха и даже трехмерные представления кривой Коха,
используя тетраэдр и прибавляя меньшие по размерам тетраэдры к каждой его
грани. Кривая Коха имеет размерность ln4/ln3 = 1.261859507.
Рис 4. Кривая Коха.
Крест Коха — это один из вариантов кривой Коха, изобретенный
Мандельбротом. Вместо отрезка прямой, он использовал в качестве инициатора
квадрат или прямоугольник. Так как в этом фрактале использован та же самая
идея, что и в оригинальной кривой Коха, его фрактальная размерность такая же:
ln4/ln3 = 1.261859507.
Рис 5. Крест Коха.
ФРАКТАЛ МАНДЕЛЬБРОТА
Это НЕ множество Мандельброта, которое можно достаточно часто видеть. Множество Мандельброта основано на нелинейных уравнениях и является комплексным фракталом. Это тоже вариант кривой Коха несмотря на то, что этот объект не похож на нее. Инициатор и генератор так же отличны от использованных для создания фракталов, основанных на принципе кривой Коха, но идея остается той же. Вместо того, чтобы присоединять равносторонние треугольники к отрезку кривой, квадраты присоединяются к квадрату. Благодаря тому, что этот фрактал занимает точно половину отведенного пространства при каждой итерации, он имеет простую фрактальную размерность 3/2 = 1.5
Рис 6. Фрактал Мандельброта.
ФРАКТАЛЫ ЗВЕЗДА И СНЕЖИНКА
Оба эти объекта не являются классическими фракталами, и они не были
изобретены Мандельбротом или кем-либо из известных математиков. Эти фракталы
были созданы из интереса, чтобы поэкспериментировать в программировании. И
инициатор и генератор здесь фигура, сформированная соединением средних точек
сторон со средними точками противолежащих сторон в правильном шестиугольнике.
Более того, я могу только подозревать о размерности этих фракталов.
Рис 7,8.
КОЛБАСА МИНКОВСКОГО
Автор этого фрактала Герман Минковский, по имени которого он и был
назван. Минковский не предлагал термин колбаса для названия этого объекта.
Слово кривая или просто фрактал, возможно, понравилось бы больше. И инициатор и
генератор довольно сложны и составлены из ряда прямых углов и сегментов
различной длины. У самого инициатора 8 частей.
Фрактальная размерность колбасы Минковского — ln8/ln4 = 1.
Рис 9. Колбаса Минковского
ФРАКТАЛ ЛАБИРИНТ
Этот фрактал еще иногда называют H-деревом. И инициатор и генератор
имеют вид буквы H. На приведенном здесь примере сама H не закрашена. Вместо
этого заполнены области вне фрактала, что облегчает восприятие рисунка и
шаблона. Фрактальная размерность этого конкретно фрактала весьма интересна. Так
как толщина H в процессе итераций уменьшается, размерность кончиков буквы H
точно 2.0, но элементы между кончиками имеют другую размерность, меняющуюся от
1.3333 до 1.6667.
Рис 10.
ПЯТИУГОЛЬНИК ДАРЕРА
Фрактал выглядит как связка пятиугольников, сжатых вместе. Фактически он
образован при использовании пятиугольника в качестве инициатора и
равнобедренных треугольников, отношение большей стороны к меньшей в которых в
точности равно так называемой золотой пропорции (1.618033989 или 1/(2cos72)) в
качестве генератора. Эти треугольники вырезаются из середины каждого
пятиугольника, в результате чего получается фигура, похожая на 5 маленьких
пятиугольников, приклеенных к одному большому.
Рис 11.
Вариант этого фрактала можно получить при использовании в качестве
инициатора шестиугольника. Этот фрактал называется Звезда Давида и он довольно
похож на шестиугольную версию Снежинки Коха. Фрактальная размерность
пятиугольника Дарера ln6/ln(1+g), где g — отношение длины большей стороны
треугольника к длине меньшей. В данном случае, g — это Золотая Пропорция, так
что фрактальная размерность приблизительно равна 1.86171596. Фрактальное
измерение Звезды Давида ln6/ln3 или 1.630929754.
КРИВАЯ ДРАКОНА
Изобретенная итальянским математиком Джузеппе Пеано, Кривая Дракона или
Взмах Дракона, как он назвал его, очень похож на колбасу Минковского.
Использован более простой инициатор, а генератор тот же самый. Мандельброт
назвал этот фрактал Река Двойного Дракона. Его фрактальная размерность
приблизительно равна 1.5236.
Рис 12.
КРИВАЯ ГИЛЬБЕРТА
Этот фрактал очень похож на Фрактал Лабиринт, кроме того факта что
ширина буквы U, являющейся генератором не изменяется с каждой итерацией.
Однако, в отличии от Фрактала Лабиринта, кривая Гильберта также называемая
Отелем Гильберта, имеет одно единственное фрактальное измерение, которое точно
равно 2.0, так как при бесконечном количестве итераций, он займет всю
плоскость.
Рис 13.
ФРАКТАЛ КОРОБКА
Это очень простой детерминированный фрактал, который образуется при
прибавлении квадратов к вершинам других квадратов. И инициатор и генератор —
квадраты. Его фрактальная размерность ln8/ln3 или 1.892789261.
Рис 14.
По материалам: Сайт Золотой Гиперкуб